Transformada de funciones t exponencial n, y divididas entre (t)
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domingo, 8 de mayo de 2011
3.6 Propiedades de la transformada de Laplace
3.6 Propiedades de la transformada de Laplace
Fuente citada: http://martinezvaronamiguel.blogspot.com/2011/05/36-propiedades-de-la-transformada-de.html
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3.5 Función de escalón unitario y 3.5.1 Transformada de Laplace de la función escalón unitario.
3.5 Función de escalón unitario
El método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse con la ventaja para la resolución de ecuaciones diferenciales Lineales. Con el uso de la transformada de Laplace pueden convertir muchas funciones habituales, como funciones senusoidales amortiguadas y exponenciales, en funciones algebraicas de una variable compleja. De manera que se puede transformar una ecuación diferencial lineal en una ecuación algebraica e una variabble compleja.
3.5.1 Transformada de Laplace de la función escalón unitario.
Llamada tambien función unitaria de Heaviside se define por
Su representación gráfica esta dada por:
Figura 1.
Función de impulso unitario o función delta de Dirac.
Consideremos la función
donde € > 0; su gráfica aparece en la figura (1).
Geometricamente es evidente que cuando € --> 0, la altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, en la forma que el área es siempre igual a 1, es decir
Esta idea ha llevado a algunos ingenieros y fisicos a pensar en una funcion limitante, denotada por s(t), aproximada por F€(t) cuando €->0. Esta fimción limitante ha sido llamada la función de impulso unitario o función delta Dirac. Algunas de sus propiedades son.
A pesar de que matemáticamente hablando, tal función no exite, pueden formalizarse algunas manipulaciones y operaciones con ella.
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3.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA LA TRASFORMADA DE LAPLACE
Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.
FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:
GRAFICA
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.
En ingeniería resulta de interés el análisis y la correspondiente solución de sistemas mecánicos, circuitos
eléctricos y cargas mecánicas (tal vez sobre vigas) donde se produce alguna fuerza de excitación “muy
grande" aplicada en un lapso de tiempo “muy corto".
Casos típicos de estas situaciones son el golpe de bat sobre una pelota, un peso grande concentrado en un
“punto de una viga" por un intervalo de tiempo corto, una fuerza electromotriz que cambia repentinamente
en un intervalo pequeño de tiempo por efecto tal vez, de un rayo, etc.
3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos
Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos
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3.3 Transformada de la place de funciones basicas
lunes, 2 de mayo de 2011
3.1 DEFINICION DE LA TRANFORMACION LAPLACE
La Transformada de Laplace:
Es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Definición de la Transformada.
Sea f una función definida para 
, la transformada de Laplace de f(t) se define como
, la transformada de Laplace de f(t) se define como
Cuando tal integral converge
1.-La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2.-La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
Condiciones para la existencia de la transformada de una función de orden exponencial
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
Tabla de Transformadas.
Obtención
Obtención
Obtención
Obtención Para n entero
:
Obtención Para
Nota: sobre la función Gamma
Obtención Para s > a
Obtención
Obtención
Obtención
Obtención
Fuentes citadas: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm
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