José Irving Navarro Márquez: 2011

martes, 17 de mayo de 2011

3.11 transformada de laplace de una ecuacion periodica

transformada de laplace de una ecuacion periodica

Funciones periódicas

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Sea $f: [0,+\infty[ \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$

una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo $[0,+ \infty[$ . Si

es periódica, con periódo

, entonces

$\displaystyle {\cal L} \{f(t) \} = \frac{1}{1-e^{-sT}} \int_0^T e^{-st} f(t) dt$

Demostración
Usando la definición

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_T^{2T} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=2T+u}$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \int_{2T}^{3T} \underbrace{e^{-st}f(t) dt}_{t=3T+u}) + \ldots + \int_{(n-1)T}^{nT} \underbrace{e^{-st} f(t) dt}_{t=nT+u}) + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^T e^{-st} f(t) dt + \int_0^{T} e^{-s(u+T)} \underbrace{f(u + T)}_{f(u+T)=f(u)} dt$
	$\displaystyle +$	$\displaystyle \ldots + \int_0^{T} e^{-s(u+nT)} \underbrace{f(u + nT)}_{f(u + nT)=f(u)} dt + \ldots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(1 + e^{-sT} + e^{-2sT} + e^{-3sT} + \ldots \right) \int_0^T e^{-su} f(u) du$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1 - e^{-sT}} \int_0^T e^{-su} f(u) du$

Ejemplo
Calcule ${\cal L} \{ f(t) \}$ , donde

es la función periódica diente de sierra que se muestra en la figura 1.7.

Figura 1.7

Solución
El periódo de esta función es

y su transformada esta dada por

$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{2s}} \int_0^{2} e^{-st} f(t) dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \int_0^1 te^{-st} dy + \int_1^2 (2-t) e^{-st} dt \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} - \frac{e^{-s}}{s} - \fr... ...-s}}{s^2} + \frac{e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{2e^{-s}}{s^2} \right)$ Fuente citada: http://gabymokito.blogspot.com/ Fuente: Alfaomeega.blogspot.com

3.12 funcion delta dirac

funcion delta dirac

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución(función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:

$\delta_{a}(x) \equiv \delta(x-a)$

Siendo $\delta(x)\,$ para el caso $a = 0\,$

En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón:

$\delta_a(x) = \theta_a'(x)\,$

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.

Definiciones

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \qquad \left[e.g. \int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1 \right ]$

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

$\delta(x) = \begin{cases} \infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases} ;$

Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de

δ(x)

implica que

δ(x)

posee dimensiones recíprocas a dx.

Definición como distribución de densidad

$\int_a^b f(x) \delta (x-x_0) \,d x = \left\{\begin{matrix} f(x_0) & \mbox{si } a < x_0 < b \\ 0 & \mbox{si } x_0 < a \ \mbox{o} \ x_0 > b \end{matrix}\right.$

Definición como límite de sucesiones de funciones

La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones f_n(x) converge distribucionalmente cuando:

$\left[ \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_n(x) \phi(x) dx \right] \to d(\phi)$

Fuente:AlfaOmeega.blogspot.com
Fuente citada: http://gabymokito.blogspot.com/

3.15 Algunas Transformadas Inversas.

Algunas Transformadas Inversas.

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

f(t) = L^-1 {F(S)}

Algunas transfromadas inversas son:

L^-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si α y β son constantes.

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

Fuente: AlfaOmeega.blogspot.com

Fuente citada:http://martinezvaronamiguel.blogspot.com/2011/05/315-algunas-transformadas-inversas.html

3.14 Transformada inversa

Transformada inversa

· Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

· Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; enseguida se explicará el Método de las Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

Fuente: AlfaOmeega.blogspot.com

fuente citada:http://martinezvaronamiguel.blogspot.com/2011/05/314-transformada-inversa.html

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

Fuente: AlfaOmeega.blogspot.com

fuente citada:http://martinezvaronamiguel.blogspot.com/2011/05/314-transformada-inversa.html

jueves, 12 de mayo de 2011

3.10 Teorema de la convolución

Teorema de la convolución

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es NO. Para este tipo desituación podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

Supongamos que f y g poseen transformada de Laplace.